הרצאות בבקרה לא-לינארית (046196) פרק 2. ביפורקציות 2.4 דוגמא: = x0 עבור כאשר

Transcript

1 הרצאות בבקרה לא-לינארית (046196) מאת פרופ' נחום שימקין טכניון הפקולטה להנדסת חשמל חורף תשס"ה פרק. מערכות מסדר ראשון נקודת הראות הגיאומטרית. תכונות כלליות של מסלולי מערכת מסדר ראשון. ביפורקציות דוגמאות פיסיקליות נקודת הראות הגיאומטרית f (), = f ( ), ( אנו דנים במערכת מסדר ראשון: t) R כאשר פונקציה רציפה.? t dt = d / sin( ) = csc( ) d. = sin( ), (0) = 0 t = csc( ) d = ln csc( ) + cot( ) + C csc( ) cot( ) ln 0 + t = 0 csc( ) + cot( ) דוגמא: ניתן לפתור ע"י הפרדת משתנים: א. ב. למרות שזהו פתרון מדויק, קשה להסיק ממנו מסקנות איכותיות, כגון: עבור עבור = 1 0, מהו אופי הפתרון המתקבל? בפרט, מהי ההתנהגות עבור? t (t) כלשהו, מהי התנהגות הפתרון 0 כאשר הפתרון לשאלות איכותיות מעין אלה מתקבל באופן פשוט על ידי ניתוח גיאומטרי של המערכת. נתבונן בציור הבא: f () 1 π

2 . בנוסף לפונקציה (), f מתואר בציור גם כיוון השינוי של הנקודות המסומנות בעיגול הן הנקודות הסטציונריות המערכת, שבהן (t), הנקבע לפי סימן (או נקודות שיווי משקל) של f (). f ( ) = 0 ניתן לראות מהציור כי: א. קיימים שני סוגים של נקודות שיווי משקל, המסומנים בעיגול מלא וריק, בהתאמה: (1) נקודות ש"מ יציבות (הנקראות גם sinks או,(attractors שאליהן מסלולי הפתרון מתכנסים. () נקודות ש"מ לא-יציבות (הנקראות גם repellers או,(sources שמהן המסלולים מתרחקים. ב. מסלול המתחיל בנקודה 1 = 0 נע ימינה במהירות משם המהירות קטנה עד להגעה (אסימפטוטית), = π הולכת וגדלה עד ( ) לנקודת ש"מ יציבה. = π ג. באופן דומה ניתן לנתח התנהגות המסלול לכל נקודת התחלה. מסלולי המערכת המתקבלים עבור תנאי התחלה שונים מוראים בציור (מתוך הספר של.(Strogatz התנהגותם האיכותית תואמת את התאור הנ"ל. -

3 באופן כללי, ניתן להבחין בסוגים הבאים של נקודות שיווי משקל (נש"מ) מבודדות, כמודגם בציור להלן:. = 3 א. נש"מ יציבה דוגמא: ציור (a),. = 3 ב. נש"מ לא יציבה - דוגמא: ציור (b),. = ג. נש"מ יציבה-למחצה - דוגמא: ציור (c), בנוסף קיימות אפשרות לרצף של נקודות שיווי משקל, כמוראה ציור (d). לא נעסוק בסיווג נש"מ מסוג זה. - 3

4 .. תכונות כלליות של מסלולי מערכת מסדר ראשון (t) טענה: עבור מערכת מסדר ראשון (עם () f רציפה), המסלולים תמיד מונוטוניים בזמן (עולים או יורדים). f () אזי עקב רציפות, f ( 0 ) > = ) 0, f ( המסלול קבוע. אם 0 אם הוכחה: 0 אינו (, f ( ובמקרה זה המסלול ישאר שם. המקרה = 0 0 יכול לשנות סימן אלא ע"י מעבר דרך f ( 0 ) < דומה. מתכונה בסיסית זו נובעות, בפרט, התכונות הבאות: א. ב. לא ייתכנו תנודות במערכת. המסלולים מתכנסים לנש"מ, או מתבדרים לאינסוף. ברור מכאן כי מגוון ההתנהגויות האפשרי עבור מערכת נתונה הינו מצומצם למדי. נושא עשיר יותר הינו שינוי התנהגות המערכת כתלות בפרמטרים, שיתואר בהמשך. - 4

5 .3. ביפורקציות ביפורקציה (פיצול) הינה שינוי איכותי באופי המערכת החל עקב שינוי בפרמטרי המערכת. תופעה זו הינה בסיסית ביותר במערכות פיסיקליות. נשתמש פה במקרה הפשוט של מערכת מסדר ראשון כדי להדגים את אופי תופעת הביפורקציה. א. ביפורקציית אוכף node) (saddle ביפורקציית זו הינה המנגנון העיקרי להיווצרות והיעלמות נש"מ. הדוגמא הקנונית של ביפורקציית אוכף נתונה ע"י המערכת הבאה (מסדר ראשון) = r + r כאשר r פרמטר ממשי. עבור ערכים שונים של מתקבלת דיאגרמת נקודות ש"מ כלהלן: עבור < 0 r עבור קיימות שתי נקודות ש"מ, יציבה ולא-יציבה. = 0 r שתיהן מתלכדות לנש"מ יציבה-למחצה (אוכף). עבור > 0 r אין כלל נש"מ (ולפיכך המסלולים מתבדרים). דרך מקובלת להציג את השינוי בנש"מ הינה באמצעות דיאגרמת הביפורקצייה הבאה: - 5

6 נעיר כי הדוגמא + r = מייצגת, במובן מסויים את כל הביפורקציות מסוג אוכף במערכות מסדר ראשון, במובן שהתנהגותן המקומית (בסביבת הביפורקצייה) ניתנת ( = r לקרוב ע"י המערכת הריבועית. דוגמא זו (יחד עם המערכת הסימטרית נקראת הצורה הנורמלית של ביפורקציית אוכף. נביא להלן את הצורות הנורמליות של מספר ביפורקציות נוספות. ב. ביפורקצייה טרנס-קריטית במערכות פיסיקליות מסויימות נש"מ קיימת לכל ערכי הפרמטר, אם כי היא עשויה לשנות את יציבותה. מצב זה מתואר על ידי ביפורקצייה טרנס-קריטית, המיוצגת ע"י. = r המערכת התאור הגרפי הינו כלהן: - 6

7 ג. ביפורקציית קלשון (pitchfork) ביפורקצייה זו מאפיינת מערכות בעלות סימטריה מרחבית. למעשה קיימות פה שתי אפשרויות:. = r 3 ביפורקציית קלשון על-קריטית: ביפורקציית קלשון תת-קריטית:. = r 3 במקרה זה שתי נש"מ הנגרמות ע"י הגורם מסדר שלישי הינן בלתי יציבות. תרגיל: שרטט את דיארמת הנש"מ ודיאגרמת הביפורקציה המתאימות למקרה זה. - 7

8 ד. ביפורקציות משולבות במערכות פיסיקליות ניתן למצוא לעתים קרובות שילוב של מספר ביפורקציות מהסוג שתואר. לדוגמא, עבור המערכת הבאה: 3 5 = r + נקבל את דיאגרמת הביפורקציה במערכת זו ניתן לראות תופעות כגון "קפיצה" מנש"מ יציבה לאחרת עם שינוי הפרמטר, וכן תופעת היסטרזיס: התנהגות שונה עבור הורדה והעלאה של הפרמטר..4. דוגמאות פיסיקליות א. מערכת לייזר נתאר את עקרון הפעולה ומודל פיסיקלי מפושט ביותר להתקן זה. מקור אנרגייה חיצוני מעביר ("שואב") אטומים למצב אנרגטי מעורר, והאטומים חוזרים למצב הבסיס תוך פליטת פוטונים בתדר מסויים. בשאיבה חלשה, הפליטה היא של אור "רגיל" (לא קוהרנטי). כאשר אנרגיית השאיבה עוברת סף מסויים, מתרחשת תופעת הלזירה האור הופך קוהרנטי ועוצמתו עולה. - 8

9 נסמן ב- n(t) את מספר הפוטונים בחלל הלייזר, וב- N(t) את מספר האטומים המעוררים. אזי n = gain loss = GnN kn האיבר הראשון נובע מפליטה מאולצת: פוטונים הפוגשים אטומים מעוררים גורמים להם לפליטת פוטון נוסף, כאשר > 0 G הוא מקדם ההגבר. האיבר השני נובע מבריחת הפוטונים מהלייזר. N( t) = N0 αn( t) נניח בנוסף כי: N 0 כאשר כמות האטומים המעוררים ע"י השדה החיצוני, והאיבר השני מייצג את הירידה במספרם עקב הפליטה המאולצת. ע"י הצבה נקבל משוואה מסדר ראשון עבור : n n = Gn( N0 αn) kn = ( GN0 k) n αgn כאשר מעלים את N 0 (רמת השאיבה), ניתן לראות כי מתקבלת ביפורקציה טרנס- קריטית עבור N 0 = k / G (סף הלזירה). התהליך מודגם בציורים הבאים. - 9

10 ב. חרוז על חישוק סובב בדוגמא הבאה נתבונן ב"חרוז" המולבש על חישוק סובב. המהירות הזוויתית ω של החישוק הינה קבועה. בהנחה של חיכוך ויסקוזי (יחסי למהירות) עם מקדם b, משוואת התנועה עבור זוית החרוז הינה: φ mr φ = b φ mg sinφ + mrω sinφ cosφ זוהי משוואה ממעלה שנייה. נבצע ניתוח מקורב עבור המקרה שבו מקדם ההשפעה המרסנת של החיכוך גדולה: ניתן להראות כי עבור כך שבקרוב מתקבלת משוואה ממעלה ראשונה: כאשר b << m איבר האנרציה קטן, gr φ = β sinφ( γ cosφ 1). β = mg / b, γ = rω / g נקודות ש"מ ויציבותן נתונות בתרשימים הבאים. ניתן לראות כי עבור סיבוב נמוכה) הנש"מ היציב הוא בראשית. כאשר המהירות עוברת ערך קריטי הראשית הופכת לא-יציבה, ומתווספות נש"מ יציבות מחוץ לראשית. < 1 γ (מהירות (γ > 1) ניתן לראות כי הציור מתאר ביפורקציית קלשון על-קריטית. - 10